おそらく、派遣会社と派遣先企業とのやりとりがうまくいっていなかったのでしょうね。確かに派遣先にしてみれば、契約延長したばかりで「辞めたい」と言われたら、「なんて無責任な」と思うことでしょう。でも、正社員での就業先を探していることが伝わっていれば、経緯が分かっているため、「寝耳に水」にはならなかったと思います。本当に難しいですよね。今の状況をうまくしのぐためには、派遣会社だけを頼るのではなく、自分で派遣先企業に順序立てて説明してみるとよいと思います。その際に、先方の心情も理解した上で、きちんと謝罪することも必要です。そして、以下のことも伝えるとよいでしょう。

1. 正社員での入社は2ヵ月先であり、そのぎりぎりまで就業し、マニュアル等の引き継ぎ
資料もきちんと作ること
2. さらに、他の方法があれば最善を尽くすので提案してほしいこと

これまで良い関係を築いてきたのだと思いますし、だからこそ、契約延長のお話をしてくださったのだと思います。なんとか最後まで良い関係で終われるよう、努力してみてくださいね。がんばってください。