雇用期間中は他の仕事をしてはいけない、という就業規則を定めている企業が多いですが、まずは現在の会社がどうなのか確認してみるとよいでしょう。働いてはいけない、ということでしたら、自宅待機の間、以下のように過ごしてみてはどうでしょうか。

1. 空いている時間を利用して、スキルアップにつながる勉強をする。
2. 見切りをつけ、退社を検討。派遣や正社員で次の仕事を探す。

おそらく、このどちらかを選択しなくてはならないと思います。派遣で次の仕事が決まった場合、すぐに今の会社を辞めるのは難しいですよね。しばらく今の状態で求職活動をしてみて、入社時期の問題だけで話が進まない、という感触をつかんだのであれば、思い切って退社してから次を探してみるのもよいでしょう。また、派遣では即日勤務の求人が多いですが、正社員はある程度は入社を待ってくれるでしょう。正社員も視野に入れて、求職活動してみるとよいと思いますよ。がんばってくださいね。